SEMINÁRIO DE AVALIAÇÃO - SÉRIE A: Filtragem para sistemas dinâmicos sujeitos a falhas

Orientadores:
Marcelo Dutra Fragoso - Laboratório Nacional de Computação Científica - LNCC

Banca Examinadora:
Marcelo Dutra Fragoso - Laboratório Nacional de Computação Científica - LNCC (presidente)
Jack Baczynski - Laboratório Nacional de Computação Científica - LNCC
Marcos Garcia Todorov - Laboratório Nacional de Computação Científica - LNCC

Suplentes:
Paulo Antonio Andrade Esquef - Laboratório Nacional de Computação Científica - LNCC

Resumo:

Os avanços recentes em tecnologia tem aumentado de maneira significativa a complexidade de diversos sistemas dinâmicos, requerendo com isso uma maior demanda por projetos de controle eficientes e confiáveis. O grande desafio do projetista então é conseguir modelos simples o suficiente para facilitar a implementação do sistema de controle, mas complexos o suficiente para garantir eficiência de performance e confiabilidade. Nesse contexto, modelos com dinâmica sujeitas a incertezas estocásticas podem ser convenientes para analisar sistemas cujo comportamento ao longo do tempo está sujeito a flutuações significativas em sua dinâmica. A engenharia aeroespacial fornece muitos exemplos de tais situações: uma aeronave deve continuar sua missão mesmo se alguns de seus giroscópios estiverem com defeito; uma nave espacial tem que ter sucesso em sua viagem de reentrada na Terra, mesmo na presença de uma falha em um computador de bordo. Nesses casos as incertezas estocásticas podem fornecer uma indicação probabilística quantitativa dos vários possíveis cenários nos quais o sistema poderá estar. Por exemplo, se o sistema altera o seu comportamento dinâmico em resposta a mudanças discretas no tempo, o modelo relevante pode consistir de um conjunto de sub-modelos, cada um representando um dos possíveis modos de operação do sistema. No caso de falhas, o funcionamento do processo pode ser descrito por diferentes regimes, do valor nominal até a falha completa, passando por vários comportamentos intermediários disfuncionais. Esses exemplos mostram que sistemas complexos atualmente encontrados nos projetos de engenharia, são inerentemente sensíveis e vulneráveis à degradação de seus componentes. Por isso, é necessário projetar políticas de controle capazes de manter o sistema com um desempenho aceitável, mesmo na presença de falhas. Para este fim, deve-se levar em conta os diferentes tipos de modos de operação que possam existir na dinâmica do sistema devido a essas variações, e como elas afetam o comportamento global do sistema. Portanto tais sistemas complexos requerem representações matemáticas que são, na sua essência, dinâmicas, multi-modelo e estocásticas. Nesse contexto, esta abordagem multi-modelo estocástica aparece como uma representação natural para o estudo de leis de controle de sistemas dinâmicos sujeitos a falhas. Os processos dinâmicos multi-modelo estocásticos que serão analisados neste projeto de pesquisa são conhecidos na literatura especializada como os sistemas dinâmicos com saltos Markovianos (SDSM), que têm tido bastante sucesso na modelagem de sistemas sujeitos a mudanças abruptas e é um tema de pesquisa crescente nos últimos anos [3], [5], [7], [8], [9], [19], [20], [27], [26], [29]. Recentemente SDSM têm sido aplicados para soluções de diversos problemas em engenharia aeroespacial [1], [2], economia [16], robótica [4], [15], receptor solar [6], e comunicação sem fio [28]. Os SDSM são vistos por diversos pesquisadores como uma verdadeira alternativa para se atingir comportamentos tolerantes a falhas em sistemas de controle. SDSM é o principal foco do projeto de pesquisa em questão. O projeto contempla diversas questões de filtragem e controle relativas a essas classes de modelos.

Um primeiro grande passo na teoria de filtragem de sistemas dinâmicos estocásticos foi o ubíquo filtro de Kalman que tem tido uma enorme variedade de aplicações, tendo sido de fundamental importância, por exemplo, no sucesso do projeto aeroespacial Apolo (ver, p.ex., [17]). O coroamento dessa teoria é a equação de Fujisaki-Kallianpur-Kunita para o caso de sistemas dinâmicos não-lineares ([14], [18]). Embora a maquinaria teórica disponível para lidar com problemas de filtragem não-linear seja considerável [30], ainda há muitas questões desafiadoras nessa área. Uma delas é o fato de que a descrição do filtro não-linear ótimo raramente pode ser derivado em termos de um sistema finito fechado de equações diferenciais estocásticas (os chamados filtros finitos), ou seja, o filtro não é computável por meio de um cálculo finito (o filtro é infinito). No contexto de SDSM, existem três cenários principais do problema de filtragem. O primeiro, com observações parciais apenas do estado do sistema, i.e., a cadeia de Markov (modo de operação do sistema) é acessível. Nesse caso, o filtro ótimo é tipo Kalman [17] e tem dimensão finita. Além disso, o problema de controle ótimo para esse cenário foi estudado em [22], usando um princípio de separação. No segundo cenário, com acesso a variável de estado do sistema mas sem acesso a cadeia de Markov, existe um filtro ótimo não linear desenvolvido por Wonham [31]. A principal dificuldade de utilizar o resultado de Wonham, no contexto do problema de controle ótimo para SLSM com observações parciais do modo de operação, é que ele introduz não linearidades na equação de Hamilton-Jacobi_Bellman, impossibilitando a obtenção de uma solução analítica explícita para o problema de controle. Com o intuito de mitigar esse problema e tornar possível uma expressão explícita para o controlador, foi desenvolvido dentro do marco desse projeto de tese um filtro ótimo linear para esse cenário [10] e algumas das suas variantes [13] incluindo também o filtro linear a horizonte infinito [12]. Finalmente, no cenário onde nem o estado do sistema nem a cadeia de Markov são acessíveis, encontramos na literatura o filtro ótimo não linear que tem dimensão infinita, tornando o seu uso impraticável de um ponto de vista de aplicações [5]. Com o intuito de sanar esse problema, o filtro ótimo linear para esse cenário foi obtido em [25] e o filtro estacionário associado foi obtido em [21]. Apesar dos resultados obtidos em [21] e [25] representarem um grande avanço na obtenção de um filtro ótimo de dimensão finita, um problema que permanece é que o filtro fornece um estimador ótimo para o estado do sistema. Portanto, um outro objetivo desse projeto de pesquisa foi deduzir o filtro ótimo
linear para a cadeia de Markov nesse cenário [11].